グラフに関する知恵袋｜データ復旧なくして明日はない

【質問】

グラフの知恵袋を説明すると、データの復旧の明日を説明します。まず、グラフの知恵袋から考察していくと、先ほどもkennojijiさんに微分法について質問させてもらった者です。解答してくださった問題は理解することができたのですが、学校で配布された問題集を解いているうちにいろいろわからないところが出てきました。同じようなグラフを書く問題で、増減表を書いて凹凸を調べるまでは普通にできるのですが、次にグラフを書く前の漸近線を求めるために極限を持ちいる操作でいつもつまづいてしまいます。解答を見て、理解に努めようとしているのですが、よくわかりませんでした。そもそも、どのような場面で（似たようなグラフを書く問題で極限を使わないものとの違いなど）、データの復旧の明日について解説すると、何に近づく極限を求めればよいのでしょうか？それを求めれば漸近線が分かってグラフを書くことできるということは理解しているのですが、どうしても極限のところが分からないので詳しい回答をお願いします。

【解答】

漸近線が存在する曲線にはいくつかパターンがあります。次の③のとき以外は x→∞ または x→-∞ のときの極限を考えます。漸近線は存在しない場合も多いのでそのときはもちろん考えません。グラフの知恵袋を紐解くと、①分数関数で分子の次数が分母の次数より 小さいときx 軸が漸近線です。x→±∞ のとき (分子の方が次数の低い分数式)→0 となります。②分数関数で分子の次数が分母の次数より 1 だけ大きいか等しいとき割り算をして (1 次式または定数)+(分子の方が次数の低い分数式) の形に変形すると y=(1 次式または定数) が漸近線です。データの復旧の明日について説明すると、[ (2 次以上の式)+(分子の方が次数の低い分数式) のときも y= (2 次以上の式) のグラフに近づきますが，漸近線とは普通言いません。]①はこれの特別な場合と見ることもできます。(②の定数が 0 の場合です)③分数関数で (分母)=0 が x=α を解に持てば y 軸と平行な直線 x=α が漸近線です。データの復旧の明日について言えることは、④a＞0 とすると x→-∞ のとき y=e^(ax) x^n →0x→∞ のとき y=e^(-ax)x^n→0 となるから x 軸が漸近線です。以上がグラフの知恵袋です。